Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）从椭圆C上一点P向圆x²+y²=1引两条切线，切点为A，B，当直线AB分别与x轴，y轴交于N，M两点时，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知b=2，利用离心率公式及a，b，c的关系得出a，得出椭圆方程；
（2）设点P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用切线性质求出两条切线方程，根据P为切线的公共点得出三点坐标的关系，从而利用P点坐标表示出直线AB的方程，得出M，N的坐标，利用基本不等式得出|MN|的最小值．

解答 解：（1）∵（0，2）为椭圆的一个顶点，∴b=2，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，∴a=3．
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）设点P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴圆过A点的方程为：x₁x+y₁y=1，圆过点B的方程为：x₂x+y₂y=1，
∵两条切线都过点P，∴x₁x₀+y₁y₀=1，x₂x₀+y₂y₀=1，
∴直线AB的方程为：x₀x+y₀y=1，
∴$M（0，\frac{1}{y_0}），N（\frac{1}{x_0}，0）$，
∴$|MN{|^2}=\frac{1}{{{x_0}^2}}+\frac{1}{{{y_0}^2}}=（\frac{1}{{{x_0}^2}}+\frac{1}{{{y_0}^2}}）•（\frac{{{x_0}^2}}{9}+\frac{{{y_0}^2}}{4}）$
=$\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+\frac{{{x_0}^2}}{{9{y_0}^2}}+\frac{{{y_0}^2}}{{4{x_0}^2}}≥\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+2\sqrt{\frac{1}{9}•\frac{1}{4}}=\frac{25}{36}$，
当且仅当${x_0}^2=\frac{18}{5}，{y_0}^2=\frac{12}{5}$时取等号，
∴|MN|的最小值为$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．