Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，|BC|=4，|AC|=3，一曲线E过点A，动点P在曲线E运动，且保持|PC|+|PB|的值不变．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（Ⅱ）若直线l交曲线E于M、N两点，曲线E与y轴正半轴交于Q点，且△QMN的重心恰好为B点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）由椭圆定义可知E为以B，C为焦点的椭圆，利用待定系数法求出椭圆方程；
（II）求出Q的坐标，设M，N坐标，利用重心坐标公式得出M，N坐标的关系求出MN中点，代入椭圆方程化简得出直线l的斜率，从而得出直线l的方程．

解答 解：（I）以CB所在直线为x轴，CB中垂线为y轴建立直角坐标系，
∵∠ACB=90°，|BC|=4，|AC|=3，∴AB=5．
设P（x，y）．则|PC|+|PB|=|AC|+|AB|=8．
∴动点P的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
则c=|OB|=2，a=$\frac{|PA|+|PB|}{2}$=4，∴b²=a²-c²=12．
∴曲线E的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（II）B（2，0），Q（0，2$\sqrt{3}$），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵△QMN的重心为B点．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+0}{3}=2}\\{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+2\sqrt{3}}{3}=0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=6}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴MN的中点为（3，-$\sqrt{3}$）．
∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{12}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，两式相减的得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}+\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{12}=0$，
即$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{8}-\frac{\sqrt{3}（{y}_{1}-{y}_{2}）}{6}=0$，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．即直线l的斜率为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴直线l方程为y+$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-3），即3$\sqrt{3}$x-4y-13$\sqrt{3}$=0．

点评 本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的关系，属于中档题．