Question

10．已知函数f（x）=|x-m|+|x-n|．
（1）若m=2，n=-5，解不等式f（x）＞9；
（2）若m=a，n=-$\frac{1}{a}$，其中a≠0，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）化简表达式|x-2|+|x-5|＞9．通过当x＜-5时，当-5≤x≤2时，当x＞2时，转化不等式为代数不等式求解即可．
（2）求出|x-a|+|x+$\frac{1}{a}$|的最小值，由a＞0，由a＜0，求出最值，然后推出函数f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）由题意可知|x-2|+|x-5|＞9．当x＜-5时，原式化为：2-x-x-5＞9，解得x＜-6，故x＜-6；
当-5≤x≤2时，原式化为：2-x+x+5＞9，不等式无解；
当x＞2时，原式化为：x-2+x+5＞9，解得x＞3，故x＞3；
综上不等式的解集为：{x|x＜-6或x＞3}．
（2）因为|x-a|+|x+$\frac{1}{a}$|=|a-x|+|x+$\frac{1}{a}$|≥|a+$\frac{1}{a}$|．由a＞0，
可知a+$\frac{1}{a}$$≥2\sqrt{a•\frac{1}{a}}$=2，由a＜0，可知a+$\frac{1}{a}$=-（-a-$\frac{1}{a}$）≤-2，
∴$|a+\frac{1}{a}|$≥2，所以函数f（x）的最小值为2．

点评 本题考查函数的最值的求法，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．