Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知：b是a，c的等差中项且A-C=$\frac{π}{3}$，求sinB的值．

Answer 1

分析 由内角和定理和A-C=$\frac{π}{3}$求出A、C的表达式，利用正弦定理化简a+c=2b，利用两角和与差、二倍角的正弦公式化简，再由内角的范围和平方关系求出sin$\frac{B}{2}$、cos$\frac{B}{2}$，最后由二倍角的正弦公式求出sinB的值．

解答 解：由A+B+C=π得，A+C=π-B，①
由题意得，A-C=$\frac{π}{3}$，②，
联立①②解得，A=$\frac{2π}{3}$-$\frac{B}{2}$，C=$\frac{π}{3}$-$\frac{B}{2}$，
因为b是a，c的等差中项，可得：a+c=2b，
所以由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，
则sin（$\frac{2π}{3}$-$\frac{B}{2}$）+sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{B}{2}$）=2sinB，
解得：$\sqrt{3}$cos$\frac{B}{2}$=4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$，①
由0＜B＜π得，0＜$\frac{B}{2}$＜$\frac{π}{2}$，则cos$\frac{B}{2}$＞0，
代入①化简得，sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，则cos$\frac{B}{2}$=$\sqrt{1-si{n}^{2}\frac{B}{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
所以sinB=2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{\sqrt{39}}{8}$．

点评 本题考查正弦定理，内角和定理，两角和与差、二倍角的正弦公式，注意内角的范围，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．