Question

如图，某市拟在长为4km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0），X∈[0，2]的图象，且图象的最高点为S（

3

2

，

3

）；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°．
（Ⅰ） 求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（Ⅱ） 应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,余弦定理的应用

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由题知，图象的最高点为S（

3

2

，

3

），从而A=

3

，

T

4

=

3

2

，由此能求出A，ω的值和M，P两点间的距离．
（Ⅱ）设MN=x，NP=y，（x，y＞0），在△MNP中，由余弦定理得

25

4

=(x+y)2-xy，又由于xy≤

(x+y)2

4

（x=y时取等号），由此能求出折线段赛道MNP的最长．

解答： 解：（Ⅰ）由题知，图象的最高点为S（

3

2

，

3

），
所以A=

3

，

T

4

=

3

2

，…（2分）
也所以有T=6=

2π

ω

，得ω=

π

3

，…（4分）
所以有y=

3

sin

π

3

x，当x=2时，y=

3

sin

2π

3

=

3

2

，
即M（2，

3

2

），又P（4，0），
所以MP=

(4-2)2+( 3 2 )2

=

5

2

．…（6分）
（Ⅱ）设MN=x，NP=y，（x，y＞0），
在△MNP中，由余弦定理得：
MP²=

25

4

=MN²+NP²-2MN•NP•cos120°，…（8分）
所以有

25

4

=(x+y)2-xy，又由于xy≤

(x+y)2

4

（x=y时取等号）
也所以

25

4

=(x+y)2-xy≥(x+y)2-

(x+y)2

4

，…（10分）
所以0＜x+y≤

5

3

3

，…（12分）
即将折线段赛道中，MN与NP的长度设计相等时，
折线段赛道MNP最长．…（13分）

点评：本题考查A，ω的值和M，P两点间的距离的求法，考查如何设计，才能使折线段赛道MNP最长的求法，解题时要注意余弦定理的合理运用．