Question

B₁、B₂是椭圆短轴的两个端点，O为椭圆的中心，过左焦点F₁作长轴的垂线交椭圆于P，若|F₁B₂|是|OF₁|和|B₁B₂|的等比中项，则的值是________．

Answer 1

分析：由题意可以先设出椭圆的方程，因为过左焦点F₁作长轴的垂线交椭圆于P，所以可以利用椭圆的方程及左焦点F₁求出|PF₁|=，然后在有|F₁B₂|是|OF₁|和|B₁B₂|的等比中项得到方程进而求出则 的值．
解答：由题意设椭圆方程为 +=1（a＞b＞0），
令x=-c得y²=，∴|PF₁|=，
∴==，
又由|F₁B₂|²=|OF₁|•|B₁B₂|得a²=2bc，
∴a⁴=4b²（a²-b²）．
∴（a²-2b²）²=0．∴a²=2b²．∴=．
故答案为：．
点评：此题重点考查了椭圆的标准方程及其性质，等比中项等，还考查了学生对已知信息的合理顺序的应用．