Question

9．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^3}+3{x^2}，x≤1\\ x+\frac{16}{x}-15，x＞1\end{array}\right.$，则f（x）的最小值为-7．

Answer 1

分析 当x≤1时，利用导数和函数最值的关系即可求出最小值，当x＞1时，利用基本不等式即可求出最小值，比较即可得到函数的最小值．

解答 解：当x≤1时，f′（x）=-3x²+6x=-3x（x-2），
令f′（x）=0，解得x=0或x=2（舍去），
当f′（x）＞0，即0＜x≤1时，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即x＜0时，函数单调递减，
所以当x=0时，f（x）_min=f（0）=0，
当x＞1时，f（x）=x+$\frac{16}{x}$-15≥2$\sqrt{16}$-15=-7，当且仅当x=4时取等号，
故函数的最小值为-7，
故答案为：-7．

点评 本题考查了分段函数和函数最值的求法，基本不等式和导数是求最值的方法，属于中档题．