Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）的最小值为-1，且f（-2）=f（0）=0
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）设F（x）=tf（x）-x-3其中t≥0，求函数F（x）在x∈[-

3

2

，2]时的最大值H（t）；
（3）若g（x）=f（x）+k（k为实数），对任意m∈[0，+∞）使得g（m）=H（m）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）根据不等式的解集，以及二次函数的性质即可求函数y=f（x）的解析式；
（2）求出F（x）的表达式，结合二次函数的图象和性质，即可求函数F（x）在x∈[-

3

2

，2]时的最大值H（t）；
（3）求出函数H（x）的值域，利用函数与方程之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（-2）=f（0）=0，
∴f（0）=c=0，f（-2）=4a-2b=0，
又f（x）的最小值即-

b2

4a

=-1，
∴a=1，b=2，c=0，∴f（x）=x²+2x；
（2）F（x）=t（x²+2x）-x-3=tx²+（2t-1）x-3，（t≥0）
分以下情况讨论F（x），x∈[-

3

2

，2]的最大值H（t），
①当t=0时，F（x）=-x-3在[-

3

2

，2]上是减函数，H（t）=F（x）max=F（-

3

2

）=-

3

2

．
②当t＞0时，F（x）的图象关于直线x=-

2t-1

2

=-1+

1

2t

对称，
∵

- 3 2 +2

2

=

1

4

，故只需比较-1+

1

2t

与

1

4

的大小．
当-1+

1

2t

≤

1

4

时，即t≥

2

5

时，F（2）≥F（-

3

2

），F（x）max=H（t）=F（2）=8t-5．
当-1+

1

2t

＞

1

4

时，即0＜t＜

2

5

时，F（2）＜F（-

3

2

），F（x）max=H（t）=F（-

3

2

）=-

3

4

t-

3

2

； 
综上所得H（t）=

- 3 4 t- 3 2 ，0≤t＜ 2 5 8t-5，t≥ 2 5

．
（3）∵H（t）=

- 3 4 t- 3 2 ，0≤t＜ 2 5 8t-5，t≥ 2 5

，函数H（t）的值域为[-

9

5

，+∞），
g（x）=x²+2x+k在区间[0，+∞）上单调递增，
故值域为[k，+∞），对任意m∈[0，+∞）使得g（m）=H（m）成立，
则[k，+∞）=[-

9

5

，+∞），
∴k=-

9

5

．则实数k的取值范围是{-

9

5

}．

点评：本题主要考查不等式的应用以及函数单调性的应用，注意要对t进行分类讨论，考查学生的计算能力．