Question

在直角坐标平面xoy中，过定点（0，1）的直线L与圆x²+y²=4交于A、B两点，若动点P（x，y）满足

OP

=

OA

+

OB

，则点P的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,直线与圆

分析：利用向量求得坐标之间的关系，设过定点（0，1）的直线L：y=kx+1，代入x²+y²=4，可得x=-

2k

1+k2

，y=

2

1+k2

，即可得出结论．

解答： 解：设动点P（x，y）及圆上点A（a，b），B（m，n），则
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴（a+m，b+n）=（x，y），
设过定点（0，1）的直线L：y=kx+1，
代入x²+y²=4，可得（1+k²）x²+2kx-3=0，
∴a+m=-

2k

1+k2

，
∴b+n=

2

1+k2

∴x=-

2k

1+k2

，y=

2

1+k2

，
∴x²+（y-1）²=1．
故答案为：x²+（y-1）²=1．

点评：本题考查轨迹方程，解题的关键是确定动点坐标之间的关系，利用消参法求轨迹方程．