Question

12．AB是平面α的一条斜线段，B为斜足，AA′⊥α，A′是垂足，BC?α，若∠ABC=60°，∠A′BC=45°，则直线AB与平面α所成的角是45°．

Answer 1

分析 过A′作A′D⊥BC于D，连接AD，则可证BC⊥AD，设BD=a，则利用特殊角的性质得出AB=2a，A′B=$\sqrt{2}a$．从而求得cos∠ABA′．

解答 解：过A′作A′D⊥BC于D，连接AD．
∵AA′⊥α，BC?α，
∴AA′⊥BC，又A′D⊥BC，AA′⊆平面AA′D，A′D?平面AA′D，
∴BC⊥平面AA′D，∵AD?平面AA′D，
∴BC⊥AD．
设BD=a，∵∠ABC=60°，∠A′BCD=45°，
∴A′B=$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{2}a$，AB=2BD=2a．
∴cos∠ABA′=$\frac{A′B}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴∠ABA′=45°．
∵AA′⊥α，∴∠ABA′为AB与平面α所成的角．
故答案为：45°．

点评 本题考查了线面角的计算，做出图形，利用特殊角的性质得出斜线段AB与射影A′B的关系是关键，属于中档题．