题目内容

项数为n的数列a1，a2，a3，…，an的前k项和为Sk（k=1，2，3，…，n），定义
S1+S2+…+Sn
n
为该项数列的“凯森和”，如果项数为99项的数列a1，a2，a3，…，a99的“凯森和”为1000，那么项数为100的数列100，a1，a2，a3，…，a99的“凯森和”为（　　）
分析：根据数列的定义，建立条件关系即得到结论．
解答：解：∵项数为99项的数列a1，a2，a3，…，a99的“凯森和”为1 000，
∴
S1+S2+…+S99
99
=1 000，
∴100，a1，a2，a3，…，a99的“凯森和”为
100+100+S1+100+S2+…+100+S99
100
=100+
S1+S2+…+S99
100
=100+990=1 090，
故选C．
点评：本题主要考查数列和的计算，正确理解定义是解决本题的关键．
练习册系列答案
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15、给定项数为m （m∈N*，m≥3）的数列{an}，其中ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，m），这样的数列叫”0-1数列”．若存在一个正整数k （2≤k≤m-1），使得数列{an}中某连续k项与该数列中另一个连续k项恰好按次序对应相等，则称数列{an}是“k阶可重复数列”．例如数列{an}：0，1，1，0，1，1，0，因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以数列{an}是“4阶可重复数列”．
（1）已知数列{bn}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0，则该数列
是
“5阶可重复数列”（填“是”或“不是”）；
（2）要使项数为m的所有”0-1数列”都为“2阶可重复数列”，则m的最小值是
6
．
（2008•盐城一模）如果有穷数列a1，a2，a3，…，an（n为正整数）满足条件a1=an，a2=an-1，…，an=a1，即ai=an-i+1（i=1，2，…，n），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列
C
0
m
， 
C
1
m
， …， 
C
m
m
就是“对称数列”．
（1）设{bn}是项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1=2，b4=11．依次写出{bn}的每一项；
（2）设{cn}是项数为2k-1（正整数k＞1）的“对称数列”，其中ck，ck+1，…，c2k-1是首项为50，公差为-4的等差数列．记{cn}各项的和为S2k-1．当k为何值时，S2k-1取得最大值？并求出S2k-1的最大值；
（3）对于确定的正整数m＞1，写出所有项数不超过2m的“对称数列”，使得1，2，22，…，2m-1依次是该数列中连续的项；当m＞1500时，求其中一个“对称数列”前2008项的和S2008．
（2012•上海）对于项数为m的有穷数列{an}，记bk=max{a1，a2，…，ak}（k=1，2，…，m），即bk为a1，a2，…，ak中的最大值，并称数列{bn}是{an}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．
（1）若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{an}．
（2）设{bn}是{an}的控制数列，满足ak+bm-k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m），求证：bk=ak（k=1，2，…，m）．
（3）设m=100，常数a∈(
1
2
，1)，若an=an2-(-1)
n(n+1)
2
n，{bn}是{an}的控制数列，求（b1-a1）+（b2-a2）+…+（b100-a100）．

 项数为n的数列a1，a2，a3，…，an的前k项和为 (k＝1,2,3，…，n)，定义为该项数列的“凯森和”，如果项系数为99项的数列a1，a2，a3，…，a99的“凯森和”为1 000，那么项数为100的数列100，a1，a2，a3，…，a99的“凯森和”为(　　)

A．991          B．1 001        C．1 090        D．1 100

 

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