Question

已知某探照灯的轴截面是抛物线y²=x，如图所示，表示平行于对称轴y=0（即x轴）的光线与抛物线上的点P、Q的反射情况，设点P的纵坐标为a(a＞0)，a取何值时，从入射点P到反射点Q的光线路程PQ最短?

Answer 1

思路解析：由抛物线的光学性质，光源置于抛物镜面的焦点处，光经抛物面反射成一束射出，因此，入射光线与反射光线成平行状态，那么光线PQ必经过抛物线的焦点.

解：由题设知点P的坐标为(a²，a)，故直线PQ的方程为：

y=(x-),即4ax-(4a²-1)y-a=0.

解方程组得y₁=-,y₁=a（舍去）,∴x=.

∴点Q的坐标为(，-).∴|PQ|=|PF|+|FQ|=a²++.

要求由入射点P到反射点Q的路程最小时的参数a的值，利用均值不等式，有|PQ|=(a²+)+≥2+=1.当且仅当a²=，即a=时，上式等号成立.∴ 入射点P(,),反射点Q(，-)时，路程PQ最短，这时P、Q恰关于x轴对称.