Question

若点P在以F₁，F₂为焦点的椭圆上，PF₂⊥F₁F₂，tan∠PF1F2=

3

4

，则椭圆的离心率为

1

2

．

Answer 1

分析：在Rt△PF₁F₂中，F₁F₂=2c为焦距，利用正切的定义结合tan∠PF1F2=

3

4

，可得PF₂=

3

2

c，再由勾股定理算出PF₁=

5

2

c，根据椭圆的定义得2a=PF₁+PF₂=4c，最后根据离心率的计算公式，可以算出该椭圆的离心率．

解答：解：∵PF₂⊥F₁F₂，tan∠PF1F2=

3

4

，
∴

PF2

F1F2

=

3

4

，结合F₁F₂=2c为焦距，可得PF₂=

3

2

c
因此，根据勾股定理可得PF₁=

PF22+F1F12

=

5

2

c
∴根据椭圆的定义，得椭圆的长轴2a=PF₁+PF₂=

3

2

c+

5

2

c=4c
由此可得椭圆的离心率为e=

c

a

=

2c

2a

=

2c

4c

=

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题根据椭圆的焦距与椭圆上一点构成直角三角形，在已知一个角正切的基础之上求椭圆的离心率，着重考查了直角三角形的性质和椭圆的基本概念，属于基础题．