Question

14．在△ABC中，已知（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$（O为平面内任意一点），则△ABC的形状为（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 等边三角形
• C． 直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 利用向量等式，结合三角形法则，得到三角形对应边的长度关系和位置关系．

解答 解：在△ABC中，已知（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$，
所以（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=0，
所以${\overrightarrow{AC}}^{2}={\overrightarrow{AB}}^{2}$，所以|AB|=|AC|，
又$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$，
所以$\overrightarrow{OA}•（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）=\overrightarrow{OC}•（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）$，
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{BA}$，所以$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CA}$=0，所以AB⊥AC；
所以△ABC为等腰直角三角形；
故选D．

点评 本题考查了利用向量的数量积判断对应线段的位置关系．