Question

15．设$f（x）=\frac{2}{{{2^x}+1}}+m，x∈R，m$为常数．
（1）若f（x）为奇函数，求实数m的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用单调性的定义予以证明．

Answer 1

分析 （1）法一：由奇函数的性质：f（0）=0列出方程，化简后求出m的值；
法二：由奇函数的性质：f（x）+f（-x）=0列出方程组，化简后求出m的值；
（2）利用指数函数的单调性，以及函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明．

解答 解：（1）法一：由函数f（x）为奇函数，得f（0）=0即m+1=0，
所以m=-1…（5分）
法二：因为函数f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0…（2分）
∴$f（{-x}）+f（x）=（{m+\frac{2}{{{2^{-x}}+1}}}）+（{m+\frac{2}{{{2^x}+1}}}）=2m+（{\frac{2}{{\frac{1}{2^x}+1}}+\frac{2}{{{2^x}+1}}}）$
=$2m+（{\frac{{2•{2^x}}}{{1+{2^x}}}+\frac{2}{{{2^x}+1}}}）=2m+\frac{{2•（{{2^x}+1}）}}{{1+{2^x}}}=2m+2=0$，
所以m=-1…（5分）
（2）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂…（6分）
则$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（m+\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}）-（m+\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}）$
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}=\frac{2•（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）•（{2}^{{x}_{2}}+1）}$     …（8分）
∵x₁＜x₂，∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，${2^{x_2}}+1＞0$，∴${2^{x_1}}+1＞0$，
f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）…（10分）
所以，对任意的实数m，函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数…（12分）

点评 本题考查了奇函数的性质，利用单调性的定义证明函数的单调性，考查方程思想，函数思想，化简、变形能力．