已知下列四个命题:①函数f(x)=2x满足:对任意x1.x2∈R且x1≠x2都有$f(\frac{{{x 1}+{x 2}}}{2})＜\frac{{f}}{2}$,②函数$f(x)={log 2}$.g(x)=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$不都是奇函数,③若函数f.且f=-2④设x1.x2是关于x的方程|logax|=k的两根.则x1x2=1．其中正确命题的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知下列四个命题：
①函数f（x）=2^x满足：对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂都有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$；
②函数$f（x）={log_2}（x+\sqrt{1+{x^2}}）$，g（x）=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$不都是奇函数；
③若函数f（x）满足f（x-1）=-f（x+1），且f（1）=2，则f（7）=-2
④设x₁，x₂是关于x的方程|log_ax|=k（a＞0且a≠1）的两根，则x₁x₂=1．
其中正确命题的序号是（　　）

A．

①②③

B．

①②④

C．

①③④

D．

②③④

分析 ①，f（x）=2^x的图象向下凸，由函数的凹凸性可判定；
，函数$f（x）={log_2}（x+\sqrt{1+{x^2}}）$满足f（x）+f（-x）=0，g（x）=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$满足g（x）+g（-x）=0，都是奇函数；
③，若函数f（x）满足f（x-1）=-f（x+1）⇒f（x）=-f（x+2⇒T=4，则f（7）=f（-1）=-f（1）=-2；
④，由log_ax₁+log_ax₂=0⇒x₁x₂=1；

解答解：对于①，f（x）=2^x的图象向下凸，由函数的凹凸性可判定，对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂都有$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，故正确；
对于②，函数$f（x）={log_2}（x+\sqrt{1+{x^2}}）$满足f（x）+f（-x）=0，g（x）=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$满足g（x）+g（-x）=0，都是奇函数，故错；
对于③，若函数f（x）满足f（x-1）=-f（x+1）⇒f（x）=-f（x+2⇒T=4，则f（7）=f（-1）=-f（1）=-2，故正确；
对于④，设x₁，x₂是关于x的方程|log_ax|=k（a＞0且a≠1）的两根，则log_ax₁+log_ax₂=0，x₁x₂=1，故正确；
故选：C．