Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2a_n-3n．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+3}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）S_n=2a_n-3n，n=1时，a₁=2a₁-3，解得a₁．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=2a_n-1+3，变形为：a_n+3=2（a_n-1+3），利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）na_n=3n×2ⁿ-3n．设数列{n×2ⁿ}的前n项和为A_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出A_n，再利用等差数列的求和公式进而得出．

解答 （I）证明：∵S_n=2a_n-3n，∴n=1时，a₁=2a₁-3，解得a₁=3．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-3n-[2a_n-1-3（n-1）]，
化为：a_n=2a_n-1+3，变形为：a_n+3=2（a_n-1+3），∴数列{a_n+3}是等比数列，公比为2．
∴a_n+3=6×2^n-1，解得a_n=3×2ⁿ-3．
（II）解：na_n=3n×2ⁿ-3n．
设数列{n×2ⁿ}的前n项和为A_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．
∴数列{na_n}的前n项和T_n=6+（3n-3）×2ⁿ⁺¹-3×$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．