Question

13．已知cosx-sinx=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，$\frac{5π}{4}$＜x＜$\frac{7π}{4}$
（1）求sinx+cosx的值；
（2）求$\frac{sin2x-2si{n}^{2}x}{1+tanx}$的值．

Answer 1

分析 （1）平方已知式子可得2sinxcosx=$\frac{7}{25}$，可缩小角x的范围$\frac{5π}{4}$＜x＜$\frac{3π}{2}$，整体代入（cosx+sinx）²=（cosx-sinx）²+4sinxcosx，开方可得；
（2）由三角函数公式化简可得$\frac{sin2x-2si{n}^{2}x}{1+tanx}$=$\frac{2sinxcosx（cosx-sinx）}{sinx+cosx}$，由（1）的求解过程整体代入计算可得．

解答 解：（1）∵cosx-sinx=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，∴（cosx-sinx）²=$\frac{18}{25}$，
∴2sinxcosx=$\frac{7}{25}$＞0，又∵$\frac{5π}{4}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，∴$\frac{5π}{4}$＜x＜$\frac{3π}{2}$，
∴（cosx+sinx）²=（cosx-sinx）²+4sinxcosx=$\frac{32}{25}$，
∴cosx+sinx=-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$；
（2）$\frac{sin2x-2si{n}^{2}x}{1+tanx}$=$\frac{2sinx（cosx-sinx）}{1+\frac{sinx}{cosx}}$
=$\frac{2sinxcosx（cosx-sinx）}{sinx+cosx}$=$\frac{\frac{7}{25}×\frac{3\sqrt{2}}{5}}{-\frac{4\sqrt{2}}{5}}$=-$\frac{21}{100}$

点评 本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和整体代入的思想，属中档题．