Question

14．已知函数f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）（其中0＜ω＜1），若点（-$\frac{π}{6}$，0）是函数f（x）图象的一个对称中心．
（1）试求ω的值，并求出函数的单调增区间．
（2）先列表，再作出函数f（x）在区间x∈[-π，π]上的图象．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的对称性可得$-\frac{ωπ}{3}+\frac{π}{6}=kπ，k∈Z$，结合范围0＜ω＜1，解得ω，从而可求f（x）解析式，令2kπ-$\frac{π}{2}$＜x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函数的增区间．
（2）用五点法即可作出函数在区间[-π，π]上的图象．

解答 解：（1）∵点$（-\frac{π}{6}，0）$是函数f（x）图象的一个对称中心，
∴$-\frac{ωπ}{3}+\frac{π}{6}=kπ，k∈Z$，
∴$ω=-3k+\frac{1}{2}$，
∵0＜ω＜1，
∴当k=0时，可得：$ω=\frac{1}{2}$．
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$＜x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：2kπ-$\frac{2π}{3}$＜x＜2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴函数的增区间为$（2kπ-\frac{2π}{3}，2kπ+\frac{π}{3}）k∈Z$．
（2）由（1）知，$f（x）=2sin（x+\frac{π}{6}）$，x∈[-π，π]，
列表如下：

x+$\frac{π}{6}$	-$\frac{5π}{6}$	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{7π}{6}$
x	-π	-$\frac{2π}{3}$	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	π
y	-1	0	1	2	0	0

作图如下：

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质的应用，考查用五点法作出函数y=Asin（ωx+∅）在一个周期上的简图，属于中档题．