Question

（本题满分13分)二次函数的图像顶点为，且图象在轴上截得线段长为.

（1）求函数的解析式；

（2）令

①若函数在上是单调增函数，求实数的取值范围；

②求函数在的最小值.

 

Answer 1

（1）；（2）①，②.

【解析】

试题分析：（1）求二次函数的解析式可用待定系数法，关键是要建立关于系数的三个方程，这里依据条件不难得到，若运用二次函数的顶点式，则显得更方便；（2）二次函数的单调性以对称轴为界，一边增，一边减，因此单调区间必须在对称轴的一侧；（3）二次函数在给定区间上的最值的研究，一定要掌握好分类讨论思想的运用，即按对称轴与给定区间的相对关系，分轴在区间的左、中、右三种情况进行讨论.

试题解析：（1）由条件设二次函数（），

设设的两根为，且，因为图象在轴上截得线段长为，由韦达定理得：

，解得，所以函数的解析式为：；

（2）①∵，∴，而函数在上是单调增函数，∴对称轴在的左侧，∴．所以实数的取值范围是.

②，，对称轴，

当时，，

当时，，

当时，.

综上所述：.

考点：二次函数的综合运用.