Question

已知各项均正的数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=

1

2

（a_n²+a_n）
（1）求{a_n}的通项公式
（2）设数列b_n=

1

anan+2

，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得{a_n}是以1为公差的等差数列，从而可求{a_n}的通项公式
（2）利用裂项法，即可求数列{b_n}的前n项的和T_n．

解答：解：（1）∵2S_n=

1

2

（a_n²+a_n），2S_n+1=

1

2

（a_n+1²+a_n+1）
∴两式相减可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵数列{a_n}各项均正，
∴a_n+1-a_n=1，
∴{a_n}是以1为公差的等差数列，
∵2S₁=

1

2

（a₁²+a₁），
∴a₁=1
∴a_n=n；
（2）b_n=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

n(3n+5)

2(n+1)(n+2)

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．