Question

18．已知min{{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}a，a≤b\\ b，a＞b\end{array}\right.$f（x）=min{|x|，|x+t|}，函数f（x）的图象关于直线x=-$\frac{1}{2}$对称；若“?x∈[1，+∞），e^x＞2mex”是真命题（这里e是自然对数的底数），则当实数m＞0时，函数g（x）=f（x）-m零点的个数为4．

Answer 1

分析 根据对称关系得出t=1，根据命题为真求出m的范围，根据f（x）的函数图象判断出零点个数．

解答 解：∵f（x）的图象关于x=-$\frac{1}{2}$对称，且f（0）=0，
∴f（-1）=0，即|-1+t|=0，解得t=1．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，x≤-\frac{1}{2}}\\{|x|，x＞-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∵对?x∈[1，+∞），e^x＞2mex是真命题，∴m＜$\frac{{e}^{x}}{2ex}$恒成立，x∈[1，+∞）．
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{2ex}$，则h′（x）=$\frac{{e}^{x}•2ex-{e}^{x}•2e}{4{e}^{2}{x}^{2}}$=$\frac{2{e}^{x+1}（x-1）}{4{e}^{2}{x}^{2}}$≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴h_min（x）=h（1）=$\frac{1}{2}$，
∴0＜m$＜\frac{1}{2}$．
作出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知y=f（x）与y=m有4个交点，
∴g（x）=f（x）-m有4个零点．
故答案为：4．

点评 本题考查了函数恒成立问题与函数最值计算，函数零点个数与函数图象的关系，属于中档题．