Question

19．如图，四棱锥M-ABCD中，底面ABCD为矩形，MD⊥平面ABCD，且MD=DA=1，E为MA中点．
（1）求证：DE⊥MB；
（2）若DC=2，求三棱锥M-EBC的体积．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理证明DE⊥平面MAB即可．
（2）取AD的中点H，连接EH，EH是三棱锥E-ABD的高，根据割补法得到三棱锥M-EBC的体积V_M-EBC=V_M-ABCD-V_E-ABD，分别根据三棱锥的体积公式进行求解即可．

解答 （1）证明：∵MD=DA=1，E为MA中点，
∴DE⊥MA，
∵MD⊥平面ABCD，MD?平面MAD，
∴平面MAD⊥平面ABCD，
∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥平面MAD，
∵DE?平面MAD，
∴AB⊥DE，
∵MA∩AB=A，
∴DE⊥平面MAB，
∵MB?平面MAB，
∴DE⊥MB
（2）取AD的中点H，连接EH，则EH∥DM，且EH=$\frac{1}{2}$MD=$\frac{1}{2}$，
则EH⊥平面ABCD，
即EH是三棱锥E-ABD的高，
若DC=2，则S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$×1×2=1，S_ABCD=AB•AD=1×2=2，
则V_E-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD•EH=$\frac{1}{3}$×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，V_M-ABCD=$\frac{1}{3}$S_ABCD•MD=$\frac{1}{3}×$2×1=$\frac{2}{3}$，
则三棱锥M-EBC的体积V_M-EBC=V_M-ABCD-V_E-ABD=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查看空间直线垂直的判定以及三棱锥的体积的计算，根据割补法将三棱锥M-EBC的体积转化为两个规则三棱锥的体积差是解决本题的关键．