Question

4．已知函数f（x）=|x+5|-|x-1|（x∈R）．
（ I）解关于x的不等式f（x）≤x；
（ II）证明：记函数f（x）的最大值为k，若lga+lg（2b）=lg（a+4b+k），试求ab的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；
（Ⅱ）求出k的值，结合已知得到ab-2$\sqrt{ab}$-3≥0，解出即可．

解答 解：（I）由x≤-5和-（x+5）+（x-1）≤x⇒-6≤x≤-5
由-5＜x＜1和（x+5）+（x-1）≤x⇒-5＜x≤-4，
由x≥1和（x+5）-（x-1）≤x⇒x≥6，
因此{x|-6≤x≤-4或x≥6}；
（II）由f（x）=|x+5|-|x-1|≤|x+5-x+1|=6，故k=6，
由lga+lg（2b）=lg（a+4b+k），
得2ab=a+4b+6，
得2ab≥4$\sqrt{ab}$+6，
故ab-2$\sqrt{ab}$-3≥0，
即（$\sqrt{ab}$-3）（$\sqrt{ab}$+1）≥0，
解得：$\sqrt{ab}$≥3，
故ab≥9．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．