Question

如图，在三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据三角形中位线定理可得EF∥BC，进而根据线面平行的判定定理可得EF∥平面ABC；
（2）根据PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，结合∠ABC=90°，及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，进而由线面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB，最后由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PAB．

解答： 证明：（1）∵E，F分别为PB，PC的中点．
∴EF∥BC，
又∵BC?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC；
（2）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
又∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
又∵PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
由（1）中EF∥BC，
∴EF⊥平面PAB，
又∵EF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PAB．

点评：本题考查的知识点是线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，是空间线面关系的简单综合应用，难度中档．