Question

3．已知关于x的函数f（x）=x²+bx+b+a．a，b为实数．
（1）若函数f（x）的值域为[0，+∞），且不等式f（x）＜c的解集为（t，t+2），求实数c值；
（2）若任意b∈R，总存在x₁∈r，使得f（x₁）＜0成立，求a的取值范围；
（3）当b=1时，解不等式f（x）＜a（x²+1）

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的值域为[0，+∞），可得△=0，不等式f（x）＜c的解集为（t，t+2），求解c是值．
（2）任意b∈R，总存在x₁∈r，使得f（x₁）＜0成立，即△＞0，分离参数，转化为二次函数问题求解．
（3）当b=1时，化简f（x），解不等式f（x）＜a（x²+1），对a进行讨论可得答案．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）的值域为[0，+∞），可得△=0，即a+b=$\frac{{b}^{2}}{4}$，那么a=$\frac{{b}^{2}}{4}$-b．
∴f（x）=x²+bx+$\frac{{b}^{2}}{4}$=（x+$\frac{b}{2}$）²
∵f（x）＜c，即$-c＜x+\frac{b}{2}＜c$，
解得：-c-$\frac{b}{2}$＜x＜c-$\frac{b}{2}$
又∵解集为（t，t+2），
可得：$2\sqrt{c}=2$，
∴c=1．
（2）总存在x₁∈r，使得f（x₁）＜0成立，
∴△＞0，即b²-4（a+b）＞0任意b∈R都成立，
∴a＜$\frac{1}{4}{b}^{2}-b$恒成立，
故得：a＜-1．
（3）当b=1时，函数f（x）=x²+x+1+a
解不等式f（x）＜a（x²+1）可化为：x²+x+1+a＜a（x²+1），
整理可得：（a-1）x²-x-1＞0．
，若a=1，则x＜-1，不等式解集为（-∞，-1）；
若a≠1，则△=4a-3，
当△=4a-3≤0，即$a≤\frac{3}{4}$时，不等式解集为：∅；
当△=4a-3＞0，且a＜1，即$\frac{3}{4}＜a＜1$时，不等式解集为（$\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2a-2}$，$\frac{1-\sqrt{4a-3}}{2a-2}$）；
当△=4a-3＞0，且a＞1，即a＞1时，不等式解集为（-∞，$\frac{1-\sqrt{4a-3}}{2a-2}$）∪（$\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2a-2}$，+∞）；
综上可知：当$a≤\frac{3}{4}$时，解集为∅；
当$\frac{3}{4}＜a＜1$时，不等式解集为（$\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2a-2}$，$\frac{1-\sqrt{4a-3}}{2a-2}$）；
当a=1时，不等式解集为（-∞，-1）；
当a＞1时，不等式解集为（-∞，$\frac{1-\sqrt{4a-3}}{2a-2}$）∪（$\frac{1+\sqrt{4a-3}}{2a-2}$，+∞）；

点评 本题考查了二次函数以及不等式的综合运用能力和二次不等式的讨论有解与无解的问题．属于中档难题．