Question

己知；x、y z＞0，则

xy+2yz

x2+y2+z2

的最大值为（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  2

  3

• C、

  2

  2

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：设出函数的最大值，列出不等式恒成立；将不等式变形，经过配方，要是不等式恒成立，需要(1-

5

4

a2) ≥0，求出a的范围，其倒数为最大值的范围．

解答：解：设

xy+2yz

x2+y2+z2

≤

1

a

恒成立，此不等式可化为
x²+y²+z²-axy-2ayz≥0
即(x-

ay

2

)2+(z-ay)2+(1-

5

4

a2)y2≥0恒成立
由于(x-

ay

2

)2+(z-ay)2≥ 0，
故(1-

5

4

a2)y2≥0
于是有a≤

2

5

故

xy+2yz

x2+y2+z2

≤

5

2

恒成立
容易验证当x=

y

5

且z=

2y

5

时取最大值

5

2

故选A

点评：本题考查将函数的最值问题转化为不等式恒成立问题、考查对二次函数配方的处理方法．