Question

x∈R，下列四个集合中是空集的是（　　）

• A．{x|x²-3x+2=0}
• B．{x|x²＜x}
• C．{x|x²-2x+3=0}
• D．{x|sinx+cosx=

  π

  3

  }

Answer 1

分析：根据空集的定义，依次分析选项：对于A，解x²-3x+2=0可得{x|x²-3x+2=0}={1，2}，对于B，解x²＜x可得{x|x²＜x}={x|0＜x＜1}，对于C，对于方程x²-2x+3=0，计算其△，可得该方程无解，则{x|x²-2x+3=0}=∅；对于D，根据和角公式可得sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），分析可得sinx+cosx的取值范围，分析可得sinx+cosx=

π

3

有解，则{x|sinx+cosx=

π

3

}≠∅，即可得答案．

解答：解：根据空集的定义，依次分析选项：
对于A，x²-3x+2=0的根为1和2，则{x|x²-3x+2=0}={1，2}，不是空集；
对于B，x²＜x?0＜x＜1，{x|x²＜x}={x|0＜x＜1}，不是空集；
对于C，x²-2x+3=0中，△=（-2）²-4×3＜0，方程x²-2x+3=0无解，则{x|x²-2x+3=0}=∅；
对于D，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），则-

2

≤sinx+cosx≤

2

，又由

π

3

＜

2

，则sinx+cosx=

π

3

有解，则{x|sinx+cosx=

π

3

}≠∅，
故选C．

点评：本题考查空集的概念，关键是理解空集的定义．