Question

16．已知函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$，其中a，b为常数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是3x-y+2=0．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线的方程可得f（1）=5，f′（1）=3，解方程可得a，b，进而得到f（x）的解析式；
（2）对x讨论，当x＞0，x＜0时，运用基本不等式可得最值，进而得到f（x）的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$的导数为f′（x）=a-$\frac{b}{{x}^{2}}$，
可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为a-b，
由切线方程3x-y+2=0，可得a-b=3，a+b=5，
解得a=4，b=1，
可得f（x）=4x+$\frac{1}{x}$；
（2）当x＞0时，4x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{4x•\frac{1}{x}}$=4，
当且仅当x=$\frac{1}{2}$取得最小值4；
当x＜0时，4x+$\frac{1}{x}$=-[（-4x）+（-$\frac{1}{x}$）≤-2$\sqrt{（-4x）•（-\frac{1}{x}）}$=-4，
当且仅当x=-$\frac{1}{2}$取得最大值-4．
综上可得，f（x）的取值范围是（-∞，-4]∪[4，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，同时考查基本不等式的运用：求最值和范围，考查运算能力，属于中档题．