Question

已知a₁=b₁=1，a_n+1=b_n+n，b_n+1=a_n+（-1）ⁿ，n∈N^*．
（1）求a₃，a₅的值；
（2）求通项公式a_n；
（3）求证：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

13

4

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1=b_n+n，b_n+1=a_n+（-1）ⁿ，可知a₃=a₁+1，a₅=a₃+3求得答案．
（2）分别看数列项数为奇数和偶数时，利用叠加法求得通项公式a_n；
（3）分别看n为奇数和偶数时，把（2）中求得的通项公式代入

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

中，利用裂项法证明原式．

解答：解：（1）b₂=a₁-1=0，∴a₃=b₂+2=2，a₅=a₃+3=5；
（2）由题意，a₃=a₁+1，a₅=a₃+3，，a_2n-1=a_2n-3+（2n-3），
∴a2n-1=a1+

(1+2n-3)(n-1)

2

=n2-2n+2；
同理，a_2n=n²+n，∴an=

n2-2n+5 4 ?n为奇数 n2 4 + n 2    n为偶数

；
（3）当n≥3时，

1

a2n-1

=

1

n2-2n+2

＜

1

n(n-2)

=

1

2

(

1

n-2

-

1

n

)，
而

1

a2n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，(n∈N*)，∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

++

1

a2n

=(

1

a1

+

1

a3

++

1

a2n-1

)+(

1

a2

+

1

a2

++

1

a2n

)
＜

1

a1

+

1

a3

+

1

2

(1+

1

2

-

1

n-1

-

1

n

)+(1-

1

n+1

)＜1+

1

2

+

3

4

+1=

13

4

点评：本题主要考查了数列的递推式求数列的通项公式和求和问题．考查了学生数列问题的综合把握．