题目内容
数列
中，α1=6，且αn-αn-1=
+n+1（n∈N+，n≥2），则这个数列的通项公式an
|
| αn-1 |
| n |
=（n+1）（n+2）
=（n+1）（n+2）
．分析：先根据条件求出数列的前几项，进而归纳猜想出数列的通项，然后利用数学归纳法的证明标准，验证n=1时成立，假设n=k是成立，证明n=k+1时等式也成立即可．
解答：解：由α1=6，且αn-αn-1=
+n+1（n∈N+，n≥2），
得：a2-a1=
+2+1⇒a2=12=3×4；
同理可得：a3=20=4×5；
a4=30=5×6；
猜想：an=（n+1）（n+2）
证明：（1）当n=1时，a1=2×3=6左边=12=1，成立．
（2）假设当n=k时，等式成立，即ak=（k+1）（k+2）
那么，当 n=k+1时，
ak+1=ak+
+（k+1）+1=（k+1）（k+2）+
+（k+1）+1=（k+2）（k+3）；
就是说，当 n=k+1时等式也成立．----------------------（13分）
综上所述，对任何n∈N+都成立．----------------------（14分）
故答案为：（n+1）（n+2）．
| αn-1 |
| n |
得：a2-a1=
| a1 |
| 2 |
同理可得：a3=20=4×5；
a4=30=5×6；
猜想：an=（n+1）（n+2）
证明：（1）当n=1时，a1=2×3=6左边=12=1，成立．
（2）假设当n=k时，等式成立，即ak=（k+1）（k+2）
那么，当 n=k+1时，
ak+1=ak+
| ak |
| k+1 |
| (k+1)(k+2) |
| k+1 |
就是说，当 n=k+1时等式也成立．----------------------（13分）
综上所述，对任何n∈N+都成立．----------------------（14分）
故答案为：（n+1）（n+2）．
点评：本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项以及数学归纳法的应用，归纳推理推出猜想是解题的关键，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．
练习册系列答案
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把正整数数列{n}中的数按如下规律排成三角形数阵：设 ai，j是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往 右数第j个数（如a1，1=1，a4，3=9）．若am，n=2010，求m+n=
，
，又
，则S2008＝