Question

5．已知函数f（x）=x+alnx
（1）若函数f（x）在x=2处的切线与直线x-y+1=0垂直，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得a；
（2）求得f（x）的导数，讨论a≥0时，a＜0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（3）讨论a＞0，a=0，a＜0，运用函数的单调性和函数的零点存在定理，以及函数的最小值大于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）f（x）=x+alnx的导数为$f'（x）=\frac{x+a}{x}（x＞0）$．    
由题意在x=2处的切线与直线x-y+1=0垂直，
可得$f'（2）=\frac{2+a}{2}=-1$，解得a=-4；
（2）因$f'（x）=\frac{x+a}{x}（x＞0）$，
当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，可得f（x）的单调区间是（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）与f'（x）在定义域上的情况如下：

x	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

f（x）的单调减区间是（0，-a），单调增区间是（-a，+∞）．
（3）由（2）可知①当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，
且有$f（{e^{-\frac{1}{a}}}）={e^{-\frac{1}{a}}}-1＜1-1＜0，f（1）=1＞0$，此时函数有零点，不符合题意；
②当a=0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上没有零点；
③当a＜0时，f（-a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，
当f（-a）=a（ln（-a）-1）＞0，即a＞-e时，函数f（x）没有零点．
综上所述，当-e＜a≤0时，f（x）没有零点．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，同时考查函数的零点问题的解法，注意运用函数的零点存在定理，属于中档题．