Question

19．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边落在射线y=$\frac{1}{2}x$（x≤0）上．
（Ⅰ）求cos（$\frac{π}{2}$+θ）的值；
（Ⅱ）若cos（α+$\frac{π}{4}$）=sinθ，求sin（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数的定义取点（-2，-1），进行求解即可求cos（$\frac{π}{2}$+θ）的值；
（Ⅱ）若cos（α+$\frac{π}{4}$）=sinθ，求出sin2α=$\frac{3}{5}$，cos2α=±$\frac{4}{5}$，再求sin（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵角θ的终边在射线y=$\frac{1}{2}x$（x≤0）上，
∴取点P（-2，-1），
则r=|OP|=$\sqrt{（-2）^{2}+（-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
则sinθ=$\frac{y}{r}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos（$\frac{π}{2}$+θ）=-sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（Ⅱ）cos（α+$\frac{π}{4}$）=sinθ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，展开可得cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$
两边平方可得1-sin2α=$\frac{2}{5}$，∴sin2α=$\frac{3}{5}$，∴cos2α=±$\frac{4}{5}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{4}$）=sin2αcos$\frac{π}{4}$+cos2αsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（$\frac{3}{5}$±$\frac{4}{5}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$或-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查三角函数求值，考查和角的余弦、正弦公式，利用三角函数的定义是解决本题的关键．