Question

5．已知tanα=2
（1）求$\frac{3sinα+2cosα}{sinα-cosα}$的值；
（2）若α是第三象限角，求cosα的值．

Answer 1

分析 因为题目条件中已知tanα=2，所以转化为tanα求值．
（1）$\frac{3sinα+2cosα}{sinα-cosα}=\frac{3tanα+2}{tanα-1}$将tanα=2代入即可；
（2）解法1：借助于$\frac{sinα}{cosα}=tanα$和sin²α+cos²α=1得解；解法2：利用cos²α=$\frac{co{s}^{2}α}{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}$=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}$，“弦”化“切”解之即可．

解答 解：（1）因为tanα=2，所以$\frac{3sinα+2cosα}{sinα-cosα}$=$\frac{3tanα+2}{tanα-1}$=$\frac{3×2+2}{2-1}$=8．
（2）解法1：由$\frac{sinα}{cosα}$=tanα=2，得sinα=2cosα，又sin²α+cos²α=1，
故5cos²α=1，即cos²α=$\frac{1}{5}$，因为α是第三象限角，cosα＜0，所以cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
解法2：因为cos²α=$\frac{co{s}^{2}α}{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}$=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{1}{1{+2}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
又因为α是第三象限角，所以cosα＜0，
所以cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查同角三角函数关系的运用，本题考查sinα、cosα和tanα三者之间的关系．借助于$\frac{sinα}{cosα}=tanα$和sin²α+cos²α=1得解是关键，属于中档题．