Question

19．已知点F（1，0）是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为$\sqrt{2}+1$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l₁：y=kx+m，l₂：y=kx-m，若l₁，l₂均与椭圆C相切，试在x轴上确定一点M，使点M到l₁，l₂的距离之积恒为1．

Answer 1

分析 （I）由点F（1，0）是椭圆的焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为$\sqrt{2}+1$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（II）把直线l₁的方程与椭圆的方程联立可得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，由于直线与椭圆相切，可得△=0，m²=1+2k²．设M（t，0），利用点到直线的距离公式可得m，k，t的关系式，代入星期日m即可得出t的值．

解答 解：（Ⅰ）∵点F（1，0）是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为$\sqrt{2}+1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a+c=\sqrt{2}+1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）把直线l₁的方程与椭圆的方程联立，得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化为（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
∵直线l₁与椭圆相切，∴△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，化为m²=1+2k²．
同理把直线l₂的方程与椭圆的方程联立也可得m²=1+2k²．
假设存在定点M（t，0）满足条件，则$\frac{kt+m}{1+{k}^{2}}×\frac{kt-m}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
化为|k²t²-m²|=1+k²，
把m²=1+2k²代入上式化为k²（t²-3）=2或k²（t²-1）=0．
其中k²（t²-3）=2不是对于任意k恒成立，应舍去．
由k²（t²-1）=0对于任意k恒成立，可得t=±1．
综上可知：满足题意的点M存在，为（±1，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、点到直线距离公式的合理运用．