题目内容
4．已知平面向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-sinx）．（1）若向量$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，求x的值；
（2）若将函数y=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，所得图象的解析式记为g（x），求函数y=g（x）的单调递增区间．
分析 （1）利用两个向量的数量积公式求得cos2x的值，从而求得x的值．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，得出结论．
解答 解：（1）∵平面向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-sinx），向量$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，
∴cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{{cos}^{2}x{-sin}^{2}x}{1•1}$=cos2x，
∴2x=2kπ+$\frac{2π}{3}$，或2x=2kπ+$\frac{4π}{3}$，即 x=kπ+$\frac{π}{3}$，或x=kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
（2）将函数y=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cos2x-sin2x=cos2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，
所得图象的解析式记为g（x）=cos2（x-$\frac{π}{6}$）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
故函数y=g（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题．
| A． | an=$\frac{1}{（2n+1）（2n+2）}$ | B． | an=$\frac{1}{（2n-1）（n+1）}$ | C． | an=$\frac{1}{n（2n+1）}$ | D． | an=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$ |
| A． | -$\frac{π}{2}$ | B． | $\frac{π}{2}$ | C． | -π | D． | π |
| A． | a＞1 | B． | a≤-1 | C． | a＜1 | D． | a≥1 |
| A． | $\frac{12}{5}$ | B． | -$\frac{12}{5}$ | C． | $\frac{5}{12}$ | D． | -$\frac{5}{12}$ |