Question

在△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别a、b、c，B=

2π

3

，a=2csinA．设函数f（x）=sin2x+4cosAcos²x
（1）求角C的大小；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理化简已知的等式，根据sinA的值不为0，得出sinC的值，由B的度数，得出A+C的度数，利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数；
（2）由（1）得出的C=A，将A的度数代入函数解析式中利用特殊角的三角函数值化简，再利用二倍角的余弦函数公式化简，最后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的递增区间列出关于xx的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）由正弦定理化简a=2csinA得：sinA=2sinCsinA，
∵sinA≠0，∴sinC=

1

2

，
∵B=

2π

3

，∴A+C=

π

3

，
则C=A=

π

6

；
（2）f（x）=sin2x+4cos

π

6

cos²x=sin2x+2

3

cos²x
=sin2x+

3

（1+cos2x）=sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin（2x+

π

3

）+

3

，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z），
则函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．

点评：此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．