Question

2．已知直线2ax+3by=$\sqrt{2}$与圆x²+y²=16交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，其中O为坐标原点，则4a+12b的最大值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由直线2ax+3by=$\sqrt{2}$与圆x²+y²=16相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，可得|AB|=$4\sqrt{2}$，圆心O（0，0）到直线2ax+3by=$\sqrt{2}$的距离d=$2\sqrt{2}$，由点到直线的距离公式列式得到a，b的关系，然后利用三角代换求得4a+12b的最大值．

解答 解：∵直线2ax+3by=$\sqrt{2}$与圆x²+y²=16相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，∴|AB|=$4\sqrt{2}$．
∴圆心O（0，0）到直线2ax+3by=$\sqrt{2}$的距离d=$\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{4{a}^{2}+9{b}^{2}}}=2\sqrt{2}$，化为4（4a²+9b²）=1．
令4a=cosθ，6b=sinθ，得4a+12b=2sinθ+cosθ=$\sqrt{5}sin（θ+φ）$（tanφ=$\frac{1}{2}$）．
∴4a+12b的最大值为$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了直线与圆相交问题，考查点到直线的距离公式的应用，训练了利用三角代换求最值，属于中档题．