Question

15．已知函数f（x）=|x-a|+|2x-1|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；
（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[$\frac{1}{2}$，1]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （ I）运用分段函数求得f（x）的解析式，由f（x）≤2，即有$\left\{\begin{array}{l}x≤\frac{1}{2}\\ 1-x+1-2x≤2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}＜x＜1\\ 1-x+2x-1≤2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ x-1+2x-1≤2\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求解集；
（Ⅱ）由题意可得当$x∈[\frac{1}{2}，1]$时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立．即有（x-2）_max≤a≤（x+2）_min．求得不等式两边的最值，即可得到a的范围．

解答 解：（ I）当a=1时，f（x）=|x-1|+|2x-1|，f（x）≤2⇒|x-1|+|2x-1|≤2，
上述不等式可化为$\left\{\begin{array}{l}x≤\frac{1}{2}\\ 1-x+1-2x≤2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}＜x＜1\\ 1-x+2x-1≤2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ x-1+2x-1≤2\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x≤\frac{1}{2}\\ x≥0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}＜x＜1\\ x≤2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ x≤\frac{4}{3}.\end{array}\right.$…（3分）
∴$0≤x≤\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}＜x＜1$或$1≤x≤\frac{4}{3}$，
∴原不等式的解集为$\{x|0≤x≤\frac{4}{3}\}$．…（5分）
（ II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含$[\frac{1}{2}，1]$，
∴当$x∈[\frac{1}{2}，1]$时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，…（6分）
即|x-a|+|2x-1|≤|2x+1|在$x∈[\frac{1}{2}，1]$上恒成立，
∴|x-a|+2x-1≤2x+1，
即|x-a|≤2，∴-2≤x-a≤2，
∴x-2≤a≤x+2在$x∈[\frac{1}{2}，1]$上恒成立，…（8分）
∴（x-2）_max≤a≤（x+2）_min，∴$-1≤a≤\frac{5}{2}$，
所以实数a的取值范围是$[-1，\frac{5}{2}]$．                                   …（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，注意运用绝对值的意义，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和转化思想，求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．