题目内容
18．若sinx+cosx=k，且sin3x+cos3x＜0，那么k取值范围是[-$\sqrt{2}$，0）．分析 对sinx+cosx=k两边平方得sinxcosx=$\frac{{k}^{2}-1}{2}$．使用立方和公式将sin3x+cos3x分解因式得到关于k的不等式．解出k；再利用和角公式k=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）得到k的范围，对不等式取交集即为k的范围．
解答 解：∵sinx+cosx=k，∴sinxcosx=$\frac{{k}^{2}-1}{2}$．
∵sin3x+cos3x＜0，∴（sinx+cosx）（sin2x-sinxcosx+cos2x）＜0，
即k（1-$\frac{{k}^{2}-1}{2}$）=$\frac{3-{k}^{2}}{2}$k＜0．
（1）若k＜0，则3-k2＞0，解得-$\sqrt{3}$＜k＜0；
（2）若k＞0，则3-k2＜0，解得k＞$\sqrt{3}$．
又∵k=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），∴-$\sqrt{2}$≤k≤$\sqrt{2}$．
∴k的取值范围是[-$\sqrt{2}$，0）．
故答案为[-$\sqrt{2}$，0）．
点评 本题考查了同角三角函数的关系，不等式的解法，因式分解得到关于k的不等式是解题关键．
练习册系列答案
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8．已知$\overrightarrow{a}$=（m-2，m+3），$\overrightarrow{b}$=（2m+1，m-2），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是锐角，则实数m的取值范围是（ ）
| A． | m＞2或m＜-$\frac{4}{3}$ | B． | -$\frac{4}{3}$＜m＜2 | C． | m≠2 | D． | m≠2且m≠-$\frac{4}{3}$ |
9．
如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=4，BC=$\sqrt{5}$，点E，F分别为AD，BC的中点．如果对于常数λ，在等腰梯形ABCD的四条边长，有且只有8个不同的点P，使得$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=λ成立，那么λ的取值范围是（ ）
如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=4，BC=$\sqrt{5}$，点E，F分别为AD，BC的中点．如果对于常数λ，在等腰梯形ABCD的四条边长，有且只有8个不同的点P，使得$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=λ成立，那么λ的取值范围是（ ）| A． | （-$\frac{5}{4}$，-$\frac{9}{20}$） | B． | （-$\frac{9}{20}$，$\frac{11}{4}$） | C． | （-$\frac{9}{20}$，-$\frac{1}{4}$） | D． | （-$\frac{5}{4}$，$\frac{11}{4}$） |
6．已知常数a＞$\frac{1}{2}$，则函数y=x2+|x-a|+1的最小值为（ ）
| A． | a+1 | B． | a+$\frac{3}{4}$ | C． | a2+1 | D． | $\frac{3}{4}$-a |
13．已知A（0，1），B（-3，4），若∠AOB的平分线交AB于D点，则$\overrightarrow{AD}$=（ ）
| A． | （$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$） | B． | （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$） | C． | （$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$） | D． | （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$） |