题目内容
14．已知函数f（x）=2x2+alnx，若对任意两个不等的正数x1，x2（x1＞x2），都有f（x1）-f（x2）＞8（x1-x2）成立，则实数a的取值范围是（ ）| A． | a≥4 | B． | a≥3 | C． | a≥2 | D． | 以上答案均不对 |
分析 条件等价于g（x）=f（x）-8x在（0，+∞）上为增函数，即g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数得出a≥-4x2+8x，则y=-4x2+8x在（0，+∞）上的最大值为a的最小值．
解答 解：∵f（x1）-f（x2）＞8（x1-x2），
∴f（x1）-8x1＞f（x2）-8x2，
∵x1＞x2＞0，
∴g（x）=f（x）-8x=2x2-8x+alnx在（0，+∞）上为增函数．
∴g′（x）=4x-8+$\frac{a}{x}$≥0在（0，+∞）上恒成立．
∴a≥-4x2+8x在（0，+∞）上恒成立．
设h（x）=-4x2+8x，则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴hmax（x）=h（1）=4．
∴a≥4．
故选：A．
点评 本题考查了导数与函数的单调性的关系，函数最值与函数恒成立问题，属于中档题．
练习册系列答案
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6．
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