Question

15．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的极坐标方程为$ρsin（θ+\frac{π}{3}）=m$，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cost\\ y=2sint\end{array}$（t为参数）．
（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的互化方法，求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，圆心到直线l的距离小于等于半径，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为$ρsin（θ+\frac{π}{3}）=m$，直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x+y-2m=0$，
圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cost\\ y=2sint\end{array}$（t为参数），圆C的普通方程为（x-2）²+y²=4；
（2）设圆心到直线l的距离为d，则d=$\frac{|2\sqrt{3}-2m|}{2}≤2$，
∴-2+$\sqrt{3}≤m≤2+\sqrt{3}$．

点评 本题考查三种方程的互化方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．