Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，联接椭圆四个顶点的四边形面积为2$\sqrt{6}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A、B是椭圆的左右顶点，P（x_P，y_P）是椭圆上任意一点，椭圆在P点处的切线与过A、B且与x轴垂直的直线分别交于C、D两点，直线AD、BC交于Q（x_Q，y_Q），是否存在实数λ，使x_P=λx_Q恒成立，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，联接椭圆四个顶点的四边形面积为2$\sqrt{6}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设切线方程为y=kx+m，与椭圆联立消元得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，组合已知条件能求出存在λ=1，使x_P=λx_Q恒成立．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，联接椭圆四个顶点的四边形面积为2$\sqrt{6}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{2ab=2\sqrt{6}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（4分）
（2）设切线方程为y=kx+m，
与椭圆联立消元得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，
∵切线与椭圆相切，∴△=36k²m²-4（2+3k²）（3m²-6）=0，
化简得m²=2+3k²，…（6分）且${x}_{P}=-\frac{6km}{2（2+3{k}^{2}）}$=-$\frac{3k}{m}$，…（8分）
又直线AD方程为y=$\frac{m+\sqrt{3}k}{2\sqrt{3}}$（x+$\sqrt{3}$），
直线BC方程为y=$\frac{m-\sqrt{3}k}{2-\sqrt{3}}$（x-$\sqrt{3}$），
解得x_Q=-$\frac{3k}{m}$，…（10分）
∴存在λ=1，使x_P=λx_Q恒成立．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．