Question

13．已知正数x，y满足x+2y=1，则$\frac{1+{y}^{2}}{xy}$的最小值为4+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意得到x=1-2y，0＜y＜$\frac{1}{2}$，代入得到$\frac{1+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{1+{y}^{2}}{y-2{y}^{2}}$，构造函数f（y）=$\frac{1+{y}^{2}}{y-2{y}^{2}}$，利用导数求出函数的最值．

解答 解：∵正数x，y满足x+2y=1，x=1-2y，0＜y＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{1+{y}^{2}}{y（1-2y）}$=$\frac{1+{y}^{2}}{y-2{y}^{2}}$，
设f（y）=$\frac{1+{y}^{2}}{y-2{y}^{2}}$，
则f′（y）=$\frac{{y}^{2}+4y-1}{（y-2y）^{2}}$，
令f′（y）=0，解得y=$\sqrt{5}$-2，
当f′（y）＞0，即$\sqrt{5}$-2＜y＜$\frac{1}{2}$时，函数f（y）单调递增，
当f′（y）＜0，即0＜y＜$\sqrt{5}$-2时，函数f（y）单调递减，
∴当y=$\sqrt{5}$-2时，函数f（y）有最小值，
即f（y）_min=f（$\sqrt{5}$-2）=2$\sqrt{5}$+4，
故答案为：4+2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了利用导数和函数的最值的问题，关键是构造函数，属于中档题．