Question

14．如图，边长为2的正方形 A BCD的顶点 A，B分别在两条互相垂直的射线 OP，OQ上滑动，则$\overrightarrow{{O}C}•\overrightarrow{{O}D}$的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 令∠OAB=θ，由边长为2的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，可得出D，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的数量积，通过三角函数的最值求解即可．

解答 解：如图：令OP为x轴，OQ为y轴，∠OAB=θ，由于AB=2故0A=2cosθ，OB=2sinθ，
如图∠DAX=$\frac{π}{2}$-θ，AB=2，故x_D=2cosθ+2cos（$\frac{π}{2}$-θ）=2cosθ+2sinθ，y_D=2sin（$\frac{π}{2}$-θ）=2cosθ
故$\overrightarrow{OD}$=2（cosθ+sinθ，cosθ）
同理可求得C（2sinθ，2cosθ+2sinθ），即$\overrightarrow{OC}$=2（sinθ，cosθ+sinθ），
∴$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OC}$=4（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=4+4sin2θ，
$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OC}$的最大值是8．
故选：D．

点评 本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．