Question

3．已知函数f（x）=sinx+acosx图象的一条对称轴是x=$\frac{π}{4}$，且当x=θ时，函数g（x）=sinx+f（x）取得最大值，则cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根据三角函数的对称性，求a的取值，并将函数g（x）化为y=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω≠0）的形式，运用整体思想，当g（x）的最大值时，确定θ的取值，运用诱导公式计算cosθ．

解答 解：函数f（x）=sinx+acosx图象的一条对称轴是x=$\frac{π}{4}$，
∴$f（0）=f（\frac{π}{2}）$，即$sin0+acos0=sin\frac{π}{2}+acos\frac{π}{2}$
∴a=1
∴g（x）=sinx+sinx+cosx
=2sinx+cosx
=$\sqrt{5}（\frac{2\sqrt{5}}{5}sinx+\frac{\sqrt{5}}{5}cosx）$
令cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$ （β∈R）
则 g（x）=$\sqrt{5}（cosβsinx+sinβcosx）$=$\sqrt{5}sin（x+β）$
∵x+β∈R 
∴当sin（x+β）=1时，g（x）取得最大值$\sqrt{5}$，
由题，此时x=θ．即sin（θ+β）=1，
∴$θ+β=\frac{π}{2}+2kπ，（k∈Z）$
∴$θ=\frac{π}{2}+2kπ-β$，（k∈Z）
∴$cosθ=cos（\frac{π}{2}+2kπ-β）$=sinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
故填：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 考查三角函数对称性，三角函数两角和与差公式逆用（辅助角公式），三角函数诱导公式．考查一般到特殊的思想，整体思想．属于中档题．