题目内容
7．
在△ABC中，点M是BC的中点，△AMC的三边长是连续的三个正整数，且tan∠C=$\frac{1}{tan∠BAM}$．（1）判断△ABC的形状；
（2）求∠BAC的余弦值．
分析 （1）假设∠BAM=α，∠MAC=β，根据正弦定理可找到α，β与B，C的正弦之间的关系，进而再由诱导公式可确定α与β的关系．
（2）先设出3个连续的整数，再由勾股定理确定关系，根据余弦定理和二倍角公式可求出角BAC的余弦值．
解答 （本题满分为12分）
解：（1）设∠BAM=α，∠MAC=β，则由tanC=cotα，可得α+C=90°，
∴β+B=90°．…（1分）
△ABM中，由正弦定理得$\frac{BM}{sinα}=\frac{AM}{sinB}$，即$\frac{sinB}{sinα}=\frac{AM}{MB}$，同理得$\frac{sinC}{sinβ}=\frac{AM}{MC}$，…（3分）
∵MB=MC，
∴$\frac{sinB}{sinα}$=$\frac{sinC}{sinβ}$，
∴sinαsinC=sinβsinB，
∵α+C=90°，β+B=90°，
∴sinαcosα=sinβcosβ，…（5分）
即sin2α=sin2β，
∴α=β，或α+β=90°，
当α+β=900时，AM=$\frac{1}{2}$BC=MC，与△AMC的三边长是连续三个正整数矛盾，
∴α=β，∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形．…（7分）
（2）在直角三角形AMC中，设两直角边分别为n，n-1，斜边为n+1，
由（n+1）2=n2+（n-1）2，得n=4，…（9分）
由余弦定理或二倍角公式得cos∠BAC=$\frac{7}{25}$，或cos∠BAC=-$\frac{7}{25}$．…（12分）
点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用．三角函数部分公式比较多，一定要强化记忆，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
17．
已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EE=2，EH=1，四边形EFGH为平行四边形．
（Ⅰ）求证：EH∥BD；
（Ⅱ）连结AC，若AC⊥BD，求FH的长度．
已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EE=2，EH=1，四边形EFGH为平行四边形．（Ⅰ）求证：EH∥BD；
（Ⅱ）连结AC，若AC⊥BD，求FH的长度．
18．假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，至少有2件次品的抽法数有（ ）
| A． | C${\;}_{3}^{2}$C${\;}_{198}^{3}$ | B． | C${\;}_{3}^{2}$C${\;}_{197}^{3}$+C${\;}_{3}^{3}$C${\;}_{197}^{2}$ | ||
| C． | C${\;}_{200}^{5}$-C${\;}_{197}^{4}$ | D． | C${\;}_{200}^{5}$-C${\;}_{3}^{1}$C${\;}_{197}^{4}$ |
2．求值：4cos50°-tan40°=（ ）
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2$\sqrt{2}$-1 | D． | $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$ |
