题目内容

17．某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性．检查人员从中随机抽取5件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见下表：
产品编号 ① ② ③ ④ ⑤
电压（x）1015202530
电流（y）0.60.81.41.21.5
（1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？
（2）依据其行业标准，该类产品电阻在[18，22]内为合格品．以上述抽样中得到的频率为合格品概率，再从该批次产品中随机抽取5件，记随机变量X表示其中合格品个数，求随机变量X的分布列、期望和方差．
（附：回归方程：$\hat y=bx+a$，其中：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}{y_i}）-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$
参考数据：$\overline{x}=20$，$\overline{y}$=1.1，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=121，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=2250）

分析 （1）由求出b=0.044，a=0.22，推出回归直线$\hat y=0.044x+0.22$，然后求解即可．
（2）判断概率类型，然后写出分布列，求解期望与方差即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由题意可得b=0.044，a=0.22，所以回归直线$\hat y=0.044x+0.22$，
故当电压加为110伏时，估计电流为5.06安培 （6分）
（2）经计算，产品编号为①③的不合格品，其余为合格品，合格概率为$\frac{3}{5}$
则X～B（5，$\frac{3}{5}$），有$P（X=i）=C_5^i{（\frac{3}{5}）^i}{（\frac{2}{5}）^{5-i}}（i=0，1，2，3，4，5）$，X的分布列为：

X012345
P${（\frac{2}{5}）^5}$$C_5^1（\frac{3}{5}）{（\frac{2}{5}）^4}$$C_5^2{（\frac{3}{5}）^2}{（\frac{2}{5}）^3}$$C_5^3{（\frac{3}{5}）^3}{（\frac{2}{5}）^2}$$C_5^4{（\frac{3}{5}）^4}{（\frac{2}{5}）^1}$${（\frac{3}{5}）^5}$
由于X～B（5，$\frac{3}{5}$），则$EX=5×\frac{3}{5}=3$；$DX=5×\frac{3}{5}×（1-\frac{3}{5}）=\frac{6}{5}$．（12分）

点评 本题考查离散性随机量的分布列的求法，回归直线方程的求法与应用，考查计算能力．

练习册系列答案
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7．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
X01234
P0.10.20.40.2a
则下列计算结果错误的是（　　）
A．a=0.1B．P（x≥2）=0.7C．P（x≥3）=0.4D．P（x＜2）=0.3
8．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如表：
所用的时间（天数）10111213
通过公路l的频数20402020
通过公路2的频数10404010
假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．
（I）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；
（Ⅱ）若通过公路l、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到；每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车A，B按（I）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．
5．已知a+b=1，（a+$\frac{1}{2}$）（b+$\frac{1}{2}$）≥0，求证：$\sqrt{a+\frac{1}{2}}$+$\sqrt{b+\frac{1}{2}}$≤2．
12．设P为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|=4，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m（m≠0）经过点（-1，0），且与椭圆交于P、Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的方程．
2．某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A、B两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将A队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B队的平均分比A队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”．
（1）根据茎叶图中的数据，求出A队第六位选手的成绩；
（2）主持人从A队所有选手成绩中随机抽2个，求至少有一个为“晋级”的概率；
（3）主持人从A、B两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
9．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为$\frac{1}{2}$，甲胜丙、乙胜丙的概率都为$\frac{2}{3}$，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（1）求第3局甲当裁判的概率；
（2）记前4局中乙当裁判的次数为X，求X的概率分布与数学期望．
6．在三棱锥D-ABC中，已知AB=BC=AD=$\sqrt{2}$，BD=AC=2，BC⊥AD，则三棱锥D-ABC外接球的表面积为（　　）
A．6πB．12πC．6$\sqrt{3}$πD．6$\sqrt{2}$π
7．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（　　）
A．3B．4C．5D．6

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