Question

如图，在棱长为4的正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在棱CC₁上，且CC₁ = 4CP.

（1）求直线AP与平面BCC₁B₁所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

（2）设O点在平面D₁AP上的射影是H，求证：D₁H⊥AP；

（3）求点P到平面ABD₁的距离.

Answer 1

（1）解：∵AB⊥平面BCC₁B₁，

∴AP与平面BCC₁B₁所成的角为∠APB.

如图建立空间直角坐标系，坐标原点为D.

∵CC₁ = 4CP，CC₁ = 4，

∴CP = 1，A (4, 0, 0)，P (0, 4, 1)，B (4, 4, 0).

∴.

∵,

∴cos∠.

∴直线AP与平面BCC₁B₁所成的角为arccos.

（2）证明：连结D₁O，由（1）有D₁ (0, 0, 4)，O (2, 2, 4)，

∴.     ∴.

∵平面D₁AP的斜线D₁O在这个平面内的射影是D₁H，∴D₁H⊥AP.

（3）解：连结BC₁，在平面BCC₁B₁中，过点P作PQ⊥BC₁于点Q.

∵AB⊥平面BCC₁B₁，平面BCC₁B₁，∴PQ⊥AB.

∴PQ⊥平面ABC₁D₁. ∴PQ就是点P到平面ABD₁的距离.

在Rt△C₁PQ中，∠C₁QP = 90°，∠PC₁Q = 45°，PC₁ = 3，

∴，即点P到平面ABD_­1的距离为.