Question

3．设函数f（x）=|x+3|-|x-3|
（1）解不等式f（x）≥3；
（2）当x∈R，y∈R时，证明：|x+3|-|x-3|≤|y+1|+|y-5|．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，求出不等式的解集；
（2）根据绝对值的性质证明即可．

解答 解：（1）f（x）≥3即|x+3|-|x-3|≥3，
x≥3时，x+3-x+3≥3，成立，
-3＜x＜3时，x+3+x-3≥3，解得：x≥$\frac{3}{2}$，
x≤-3时，-x-3+x-3≥3，无解，
故不等式的解集是[$\frac{3}{2}$，+∞）；
（2）证明：由|x+3|-|x-3|≤|x+3+3-x|=6，
|y+1|+|y-5|≥|y+1-y+5|=6，
故|x+3|-|x-3|≤|y+1|+|y-5|．

点评 本题考查了分类讨论思想，考查绝对值的性质，是一道中档题．